D et E sont carrées, et seule la matrice D est symétrique. Or, $I_0=1$, et donc $I_n=(-1)^n n!$. Calculant l'intégrale, on trouve : Ceci signifie que $$\frac{\ln(n+1)}{\ln(n)}\leq \frac{H_n}{\ln n}\leq 1+\frac1{\ln n}.$$ $$\frac{e^t}{t^4}=o_{+\infty}\left(\frac{e^t}{t^3}\right).$$ &=(-1)^{n+1}\sum_{k=n+1}^{+\infty}(-1)^k (u_k-u_{k+1})\\ En n, si a = 1, la série est alternée, et comme 1=n ! \frac{dt}t$ est divergente, on en déduit que l'intégrale est divergente. Montrer que la suite … Si on reporte ceci dans l'équation précédente, on obtient que À l'aide de la somme de Riemann associée à une subdivision équirépartie, on trouve pour une fonction intégrable lim n!+1 b a n Xn k=1 f a + k b a n = Z b a f(x)d x: Dans le cas d'une fonction constante, cela donne 8 2R; Z b a d x = lim n!+1 b a n Xn k=1 = (b a) ( aire d'un rectangle! ) En d´eduire que lorsque n tend vers +∞, S n tend vers 4 e. Indication pour l’exercice 4 [Retour a l’´enonc´e] Constater que S n est une somme de Riemann de x 7→ √ x sur … Comparer $f$ à une fonction exponentielle $e^{-ax/2}$ pour prouver que $f$ est intégrable. Pour $\beta\neq 1$, on a On aurait aussi pu utiliser que, sur $[0,1[$, on a De même, au voisinage de $+\infty$, on a \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} $$\begin{array}{lll} Pour étudier ce problème, on fait un développement limité en 1 en posant En déduire que $\lim_{n\to+\infty}\int_0^1\frac{t^{2n+2}\ln t}{t^2-1}dt=0$, puis la relation demandée. $$\frac{R_n}{\frac{1}{n^{\alpha-1}(\alpha-1)}}\to 1$$ \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} Montrer que les intégrales impropres $\int_1^{+\infty}\frac{\sin t}{t}dt$ et $\int_1^{+\infty}\frac{\cos t}tdt$ sont convergentes. \int_0^1 \cos^2\left(\frac1t\right)dt Soit $f$ la fonction affine par morceaux telle que $f(x)=2^n(x-n)$ pour En utilisant le développement limité $\ln(1+x)=x-x^2/2+o(x^2)$ au voisinage de $0$, on trouve Posons $g(x)=f(x)-f(0)$. $$t^2\times te^{-\sqrt t}=t^3e^{-\sqrt t}=e^{3\ln t-\sqrt t}\to 0\textrm{ en }+\infty.$$ Utilisant $\sum_1^n\frac{1}{p}=\ln n+\gamma+o(1),$ ($\gamma$ est la constante d'Euler), on a : &=&12. $F$ est une fonction continue sur $[0,+\infty[$. $$\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\frac{|\sin t|}{t}dt\geq\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\frac{|\sin t|}{(k+1)\pi}dt=\frac{1}{(k+1)\pi}\int_0^{\pi}|\sin t|dt.$$ Pour $\alpha<1$, déterminer un équivalent de $S_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^\alpha}$. La fonction $f$ admet donc une limite en $1$ égale à $-1$. Exercices n o 5: Leçon : Intégration de Riemann; Chapitre du cours : Intégrales généralisées: Exercices de niveau 14. &=(-1)^{n+1}\sum_{k=n+1}^{+\infty}(-1)^k v_k On a affaire à une série télescopique un peu compliquée. SOMMESDERIEMANN 4. qui est négligeable devant $\frac x{(\ln x)^n}$. $$0\leq Li(0)-S_n\leq\frac 1n.$$, En admettant que &=&\frac{e^{-x}}x-\int_x^{+\infty}\frac{e^{-t}}{t^2}dt. \begin{eqnarray*} et on a Si $a=3/2$, la fonction est équivalente à $\frac{5}{8x^2}$, et donc l'intégrale est convergente. 3. On en déduit que la série $\sum_n v_n$ est convergente. $$e^{-t^2}=\frac{-1}{2t}\times \big(-2te^{-t^2}\big),$$ 1. Estimation de restes - Intégration des relations de comparaison. Mesures 2 1. $$|R_n|+|R_{n+1}|=(-1)^{n+1} (R_n-R_{n+1})=u_{n+1}.$$. Autrement dit, $e^{-x^2}=o(1/x^2)$. $$\frac{\ln t}{a^2+t^2}=_{+\infty}o\left(\frac{1}{t^{3/2}}\right).$$ Étudier la nature de la série $\sum_n v_n$. \int_x^{+\infty}\frac{e^{-t}}tdt&=&\left[-\frac{e^{-t}}t\right]_x^{+\infty}-\int_x^{+\infty}\frac{e^{-t}}{t^2}dt\\ Corrigé de l’exercice 2.2. qui tend vers $-1$ si $X$ tend vers 0. comparer : On sait que $\sqrt x\ln x\to 0$ quand $x\to 0$. Dans la suite de l'exercice, on notera $\gamma=\sum_{n=1}^{+\infty}u_n$. Écrire $\sin(t)$ comme la partie imaginaire de $e^{it}$. Soit $f:[0,+\infty[\to\mathbb R$ une fonction continue, et $b>a>0$ deux réels. &=&6\left[-u^2e^{-u}\right]_0^{+\infty}+12\int_0^{+\infty}ue^{-u}du\\ : Propriétés de l'intégrale: Exo suiv. voisinage de $+\infty$. $$A_n(t)=\frac{1}{2}+\frac1{2\sin(t/2)}\times \big(\sin((2n+1)t/2)+\sin(-t/2)\big)$$ Analyse. \begin{eqnarray*} si $n$ est assez grand. 3 rue de … Il en est de même de l'intégrale de départ. $$\sum_{k=1}^n u_k=f_n$$ Démontrer que pour tout $n\geq 1$, on a \int_0^\pi f(t)\sin\big((2n+1)t/2\big)dt&=&\frac{2}{2n+1}f(0)-\frac{2}{2n+1}\cos\left(\frac{(2n+1)\pi}2\right)f(\pi)\\ Des exercices sur les sommes généralisées de Riemann sont proposés avec des solutions détaillées. Prouver que, pour tout $k\in\mathbb N$, \end{eqnarray*} v_n&=&H_{n+1}-\ln(n+1)-H_n+\ln(n)\\ Démontrer que $Li(0)=\int_0^{+\infty}\frac{x}{e^x-1}dx$. Montrer que si N est la somme de n nombres impairs consécutifs, alors N n’est pas premier. $$V_n=\ln(2n+1)-1-\ln(n)+o(1).$$ $$u_1=1\textrm{ et pour }n\geq 2, u_n=\frac 1n+\ln\left(1-\frac 1n\right);$$ Il suffit donc de calculer $S_{2n-1}$ et $S_{2n}$ jusqu'à ce que $S_{2n}-S_{2n-1}=\frac{1}{2n\ln(2n+1)} \leq 10^{-5}$. \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} Si $f$ n'est pas positive, il existe $x_0\in\mathbb R$ tel que $f(x_0)<0$. $$|\sin t|\geq\sin^2 t=\frac{1-\cos(2t)}{2}.$$ \begin{eqnarray*} &=&\frac{ at^2+o(t^2)}{t^2+o(t^2)}\to a. &=&2\int_0^1 \ln(x)dx+2\int_1^2\ln(x)dx\\ Séparons alors l'étude en 0 et celle en $+\infty$. \end{eqnarray*}. En $0$, $t^2\ln t$ tend vers 0, et donc la fonction $t\mapsto \frac{t^2\ln t}{t^2-1}$ tend vers 0. Si $\alpha>0$, la fonction $x\mapsto x^{-\alpha}$ est décroissante sur $[1,+\infty[$. $$\frac{\ln(n+1)}{\ln n}=\frac{\ln (n)+\ln(1+1/n)}{\ln n}\to 1$$ à $n$ termes lorsque $x\to+\infty$. définie par On remarque d'abord que la série est convergente. On fait ensuite tendre $M$ vers $+\infty$ dans cette inégalité. Montrer que la série de terme général $u_n$ converge. Mais on a 1. En particulier, $\int_1^X\frac{\cos t}{t^2}dt$ admet On vient donc de voir deux phénomènes très différents de ce qui peut se passer dans le cas limite de la règle de d’Alembert. $$0\leq u_n\leq \frac1{5^n}$$ \end{align*} Comparer en 0 (utiliser une intégrale précédente), et majorer à l'infini. La convergence pour $k=0$ est classique (par exemple, car $\ln t=o(1/\sqrt t)$ en 0). d'où l'on déduit que : Propriétés de l'intégrale: Exo suiv. On propose des exercices sur les intégrales de Riemann; en particulier sur les applications des sommes de Riemann. Intégrer $\frac 1k\leq \frac 1t$ pour $t\in[k,k+1]$. par intégration par parties. $$\left|\int_x^{2x}\veps(t)dt\right|\leq Mx\to 0,$$ $$\int_{k}^{k+1}\frac{dt}t\leq \frac 1k\leq\int_{k-1}^k \frac{dt}t$$ &=&\frac{e^{-nx}-1}{1-e^x} On trouve successivement : \end{eqnarray*} Cette fonction est continue sur R donc sur [1;+1[. On trouve Il en est de même de $f$. 3. questions précédentes. $$\int_{x_n}^{y_n}f(t)dt=F(y_n)-F(x_n)\to \ell-\ell=0.$$. On appelle somme de Riemann inférieure ... 2 Propriétés de l’intégrale de Riemann Exercice 1 En utilisant la définition d’une fonction intégrable au sens de Riemann, montrer les propriétés suivantes : 1.Si f et g sont Riemann-intégrables sur [a;b], alors f +g est Riemann-intégrable sur [a;b]. La fonction $f:t\mapsto e^{-t}\left(\frac1{1-e^{-t}}-\frac 1t\right)$ est clairement continue sur $]0,+\infty[$. A titre d'exemple, le résultat démontré par le problème … $$f(x)=\frac{\sin x}{x^\alpha}-\frac{\sin^2 x}{2x^{2\alpha}}+o\left(\frac{\sin^2 x}{x^{2\alpha}}\right).$$ supérieure) croît … Pour ce dernier problème, il faut regrouper deux par deux (astuce!). ... est continue sur et par croissance comparée ainsi Comme l’intégrale de Riemann par comparaison par négligeabilité, l’intégrale converge. $$0\leq \phi(x)\leq \int_1^{+\infty}\frac{1}{t^x}=\frac 1{x-1}.$$ problèmes de convergence. \end{eqnarray*} Les simplifications se font sur l'écriture de 3 termes consécutifs. 2. Par intégration des relations de comparaison (les fonctions sont positives et intégrables), on trouve Utiliser les deux questions précédentes. Le plus simple est d'utiliser la formule suivante : On trouve : &=&4\ln 2-4. On va appliquer l'inégalité de Taylor-Lagrange à cette fonction entre $0$ et $1$. Puisqu'on a affaire à des fonctions Montrer que la série de terme général Par comparaison à une intégrale de Riemann convergente, la fonction $x\mapsto \frac{\sqrt{\ln x}}{(x-1)\sqrt x}$ est intégrable au voisinage de $1$. Exercices - Espaces complets : corrigé Suites de Cauchy Exercice 1 - Une CNS de convergence - L2/Math Spé - ? $$\int_0^{+\infty}\big(\arctan(x+1)-\arctan(x)\big)dx=\frac\pi4+\frac{\ln 2}2.$$. f'(t)\cos\big((2n+1)t/2\big)dt. $$(\ln x)^n=o(1/\sqrt x).$$ Réciproquement, si (un ) admet une sous-suite (uϕ(n) ) qui converge vers l, on fixe ε > 0. Les résultat précédents nous donnent immédiatement que $(S_n)$ est décroissante et que $(T_n)$ est croissante. Montrer que le produit de deux fonctions Riemann-intégrables est Riemann-intégrable. Dit de façon algébrique, on va décomposer le polynôme $X^3$ dans la base $1,X,X(X-1),X(X-1)(X-2)$. Pour étudier le problème en $+\infty$, $\int_0^{+\infty}f(t)e^{-s_0t}dt$ converge. La fonction $x\mapsto \frac{\sqrt{\ln x}}{(x-1)\sqrt x}$ est continue sur $]1,+\infty[$. $$\int_x^{x+1}f(t)dt=F(x+1)-F(x)\xrightarrow{x\to+\infty}\ell-\ell=0.$$. Comme la fonction $f(t)\sin(t)$ ne change pas de signe sur $[n\pi,(n+1)\pi]$, on remarque Soit $f$ une fonction de classe $C^1$ sur $[0,\pi]$. On peut aussi appliquer la règle de d'Alembert (ce qui est légitime $$\frac{\ln t}{a^2+t^2}\sim_0 \frac{\ln t}{a^2}$$ $$\int_0^{(n+1)\pi}\frac{|\sin t|}{t}dt\geq\left(\sum_{k=0}^n \frac{1}{(k+1)\pi}\right)\int_0^{\pi}|\sin t|dt.$$ Pour $t\in[k\pi,(k+1)\pi]$, on a $$\frac{e^{-t^2}}{2t^2}=_{+\infty}o\left(e^{-t^2}\right).$$ \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} Calcul de la somme. une formule de récurrence pour exprimer $I_n$ en fonction de $I_{n-1}$ en réalisant une intégration }+e=2e.$$, La deuxième somme est plus compliquée à cause du terme en $n^2$. $$\begin{array}{lll} Soit $f:[a,b[\to\mathbb R_+$ continue et croissante. $$\begin{array}{lll} &=&-\sum_{k=0}^n \int_0^1 t^{2k}\ln tdt\\ La formule générale pour les sommes de Riemann est que R b a f(x)dx est la limite (quand n!+¥) de S n = b a n n 1 å k=0 f(a+k b a n): Indication … \int_0^{+\infty}\frac{\ln t}{a^2+t^2}dt&=&\int_0^{+\infty}\frac{\ln au}{a^2+a^2u^2}adu\\ Autrement dit, le domaine [003090] Exercice 282 Petit théorème de Fermat Soit p ∈ N premier. Vérifier que, pour $n\geq 2$, $v_{n}-v_{n-1}=\frac 1n-\ln\left(1+\frac 1n\right)$. Exercices sur les Sommes de Riemann généralisées. Exemples de limites de sous-ensembles 4 ... Interversions d’une somme de s´erie et d’une int´egrale 39 4. Il s'agit ici d'appliquer le théorème fondamental du calcul intégral, car la fonction $f$ est continue sur $]0,+\infty[$. D'après le théorème d'intégration des relations de comparaison, on déduit Avec l'indication, il vient : et donc la limite recherchée est $\ln 2$. $\int_0^{+\infty}f(t)\sin(t)dt$ n'est pas absolument convergente. Justifier que les séries $\sum_{n}u_n$ et $\sum_n v_n$ sont convergentes. \displaystyle \mathbf 1.\ \dis \sum_{n\geq 0}\frac{n+1}{n! \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} $$f(t)=\frac{\ln(t)}{1-t},\ g(x)=\frac{x}{e^x-1}.$$. En effet. En 1, on sait que 3. A fortiori, $\int_0^{+\infty}\frac{dt}{e^t-1}$ est divergente. On considère le \emph{logarithme intégral} qui est l'application &=&x^2+\frac12+\frac3{8x^2}+o\left(\frac1{x^2}\right). Par récurrence, on prouve alors facilement que Remarquons d'abord par récurrence sur $n$ que la dérivée n-ième de $f(t)=\ln(1+t)$ est : Ainsi, par comparaison à une intégrale de Riemann convergente, la fonction est intégrable au voisinage de $+\infty$. converge (série de Riemann d’exposant a > 1), la série de fonctions de terme général x 7→ 1 nx, n ≥ 1, est normalement convergente et donc uniformément convergente sur [a,+∞[. On peut donc se concentrer sur le cas $\alpha< -1$. Puisque (un ) est de Cauchy, il existe N1 tel que n, p ≥ N1 =⇒ kun − up k ≤ ε. [Le sujet - Le corrigé.] \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \end{array}$$, Pour $\alpha,\beta\in\mathbb R$, on souhaite déterminer la nature de Revenant à l'intégrale initiale, on trouve finalement que Calculer $\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty}kx^k$. On en déduit que Démontrer que $f$ tend vers 0 en $+\infty$. et ceci tend vers $0$ lorsque $N$ tend vers $+\infty$. Exercices de Math´ematiques Sommes de Riemann (I) Corrig´es Corrig´e de l’exercice 4 [Retour a l’´enonc´e] On constate que S n = 1 n Xn k=1 r k n est une somme de Riemann de x 7→ √ x sur [0,1]. $$\frac{\ln t}{t^2-1}\sim_{1}\frac{t-1}{(t-1)(t+1)}\sim_1 \frac{1}{t+1}\sim_1\frac 12.$$ 4. Prouver que, pour tout $t\in\mathbb R$, $|\sin t|\geq \frac{1-\cos 2t}{2}$. Par le théorème des gendarmes, $\phi(x)$ tend vers 0 lorsque $x$ tend vers $+\infty$. On doit donc comparer. On suppose que $f$ est intégrable sur $[0,+\infty[$. Justifier que, pour tout $k\geq 1$, l'intégrale $\int_0^{+\infty}xe^{-kx}dx$ est convergente, et calculer sa valeur. Exercice 2 Soient et deux réels. on en déduit que $xe^{-x}\sin(x)=o(1/x^2)$. Majorer la fonction (le plus simplement du monde!). $$\left|\int_a^b f(t)dt\right|\leq \sqrt{b-a}\left(\int_a^b f^2(t)dt\right)^{1/2}.$$, En déduire que $$u^2=\frac{1}{x^4}+o(1/x^4)$$ on en déduit que la série de terme général $u_n$ est convergente. Correction H [005712] 4. $$\left|\ln(1+x)-x\right|\leq \int_0^x (x-t)dt=\frac{x^2}2.$$. Déterminer le domaine de définition de $\phi$. on en déduit le résultat demandé. $$f^{(n)}(t)=\frac{(-1)^{n-1}(n-1)! (i) Posons f(x) = 1 cos x x2. Déterminer Cette fonction admet une limite quand $x$ tend vers $+\infty$. \begin{align*} On applique le résultat des questions précédentes avec $f(x)=\frac{1}{1+x^n}$ (qui est bien continue et bornée sur $[0,+\infty[)$. La fonction $u$ est continue en $0$ et $u(0)=Li(0)=\frac{\pi^2}6$. Donc on a prouvé que $f$ tend vers $0$ en $+\infty$. En outre, on peut calculer la somme de cette série. \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} &=&\frac{1}{-\beta+1}\left((\ln X)^{-\beta+1}-1\right) que, d'après la question précédente, $\int_1^X\frac{\cos 2t}{2t}dt$ admet une limite (finie) $$\int_0^\pi f(t)\sin\left(\frac{(2n+1)t}{2}\right)dt\longrightarrow_{n\to+\infty}0.$$, On pose $A_n(t)=\frac12+\sum_{k=1}^n \cos(kt).$ Vérifier que, pour $t\in]0,\pi]$, on a &=&-a(\ln a)^n-n\int_a^1(\ln x)^{n-1}dx. En déduire le résultat. Par comparaison, il en est de même de $F(t)e^{-(s-s_0)t}$. Puisque $f$ est croissante, on sait que, pour tout $k=1,\dots,n-1$, De plus, l'inégalité précédente prouve que $f$ tend vers 0 en $+\infty$. c'est-à-dire converge et calculer sa somme. Indication pour l’exercice 3 [Retour a l’´enonc´e] V´erifier que lnS n est une somme de Riemann de x 7→lnx sur [1,2]. On dérive cette égalité (on a bien une somme finie) : Pour calculer l'intégrale, il suffit d'écrire que $\sin t$ est la partie imaginaire de $e^{it}$... Il vient Puisque $\int_e^{+\infty}\frac{dt}{t^\gamma}$ converge, il en est de même de Mais, en écrivant que Our website is made possible by displaying online advertisements to our visitors. On n'a donc pas besoin d'étudier le problème de convergence en $0$, mais on pourra remarquer que la fonction se prolonge par continuité en $0$. }&&\displaystyle \mathbf 2.\ \dis \sum_{n\geq 0}\frac{n^2-2}{n! d'après la première question. converge (effectuer une intégration par parties), les intégrales $\int_1^{+\infty}f$ et $\int_1^{+\infty}g$ sont de même nature. \end{eqnarray*} Elle admet donc une primitive de la forme L’intégrale de Riemann est un moyen de définir l’intégrale, sur un segment, d’une fonction réelle bornée et presque partout continue. On effectue le développement limité jusqu'aux termes en $1/x^4$. $$\ln f(x)-\ln f(A)\leq \frac{a}2(x-A).$$ $S$ cette somme. Préparer la math sup : nombres complexes Les nombres complexes sont un des chapitres vraiment nouveaux du programme de Terminale S. Ils seront à nouveau étudiés au début de la Math Sup, avec des révisions et des compléments. Utilisant $e^{\alpha x}=1+\alpha x+o(x)$, on trouve (à nouveau, le terme constant "rentre" dans le o). En utilisant le changement de variable de classe défini par : , Si et , , la fonction étant croissante sur ,, on multiplie par et on intègre sur : soit . $$\int_{k}^{k+1}\frac{dt}{t^\alpha}\leq \frac{1}{k^{\alpha}}\leq \int_{k-1}^{k}\frac{dt}{t^\alpha}$$ Par somme, l’intégrale converge. Par comparaison à une série de Riemann divergente, $\sum_n u_n$ converge. $$\int_a^{x}\frac{dt}{t^\alpha}=\frac{1}{1-\alpha}\left(x^{1-\alpha}-a^{1-\alpha}\right).$$ $$\int_1^{n+1}\frac{dt}{t^\alpha}\leq S_n\leq 1+\int_1^{n}\frac{dt}{t^\alpha}.$$ \end{eqnarray*} $$Li(x)=\int_1^x \frac{\ln(t)}{1-t}dt.$$, Charles-Jean de La Vallée Poussin (1866 - 1962). En reprenant le même raisonnement, on a On somme ces inégalités pour $k$ allant de $N+1$ à $M$ et on obtient Posons $F(x)=\int_0^x f(t)dt$. En effet, on a : Donner un équivalent de $\int_1^{x}\frac{\arctan t}{t}dt$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$. Au voisinage de $1$, $\ln(t)\sim t-1$ et donc $f(t)\sim-1$. $$u=\frac1{x^2}+\frac{1}{x^4}$$ Examens corriges pdf $$I_n-I_{n-1}=\int_0^{\pi/2}2\cos(2nt)dt=0.$$. Questions préliminaires : on pose, pour $t>0$ et $t\neq 1$ et pour $x> 0$, \begin{eqnarray*} \end{eqnarray*} L'intégrale $\int_4^{+\infty}\frac{\sin x}{\sqrt x+\sin x}dx$ est donc de même nature que Faire la somme et utiliser la question précédente. Prouver que, pour tous $0\leq a\leq b$, on a \end{eqnarray*} $$T_N-S_N=\ln(N+1)-\ln(N)=\ln\left(1+\frac 1N\right)$$ Il suffit de remarquer que pour tout $n\geq 1$, on a Si $x=0$, la fonction est constante }&=&\sum_{n\geq 1}\frac{n(n-1)(n-2)}{n! et elle vérifie $|\frac{f(x)}{1+x^2}|\leq \frac{M}{1+x^2}$ qui est intégrable au voisinage de $+\infty$. Soit $a>0$. En déduire que, pour tout $s>s_0$, $\int_0^{+\infty}f(t)e^{-st}dt$ converge. \begin{eqnarray*} $$\int_{n}^{+\infty}\frac{dt}{t^\alpha}\leq \sum_{k\geq n}\frac 1{k^\alpha}\leq \int_{n-1}^{+\infty}\frac{dt}{t^\alpha},$$ ∑ 2 2 =1 Est une somme de Riemann associe à sur . Par comparaison, $\int_0^1 \ln te^{-t}dt$ converge. ce qui prouve bien que $(f_n)$ converge vers $\gamma$. On divise par $n\ln n$ pour prouver que $\ln(n! par croissance comparée des fonctions polynomiales et exponentielles. $S_n=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{b-a}nf\left(a+\frac{k(b-a)}n\right)$. 1. $$\arctan\left(\frac{1}{k^2+k+1}\right)=\arctan\left(k+1\right)-\arctan\left(k\right),$$ \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} $$Li(0)=\frac{\pi^2}6.$$. $$U_n=\sum_{k=1}^n\frac{(-1)^{k+1}}{k}=\int_0^1\left(\sum_{k=1}^n (-t)^{k-1}\right)dt=\int_0^1\frac{1-(-t)^n}{1+t}dt.$$ En déduire que ∀ n ∈ Z, n p ≡ n(mod p). $$x^\alpha\ln x=o(x^\gamma)\textrm{ (faire le quotient des deux quantités)}$$ L'équation précédente montre qu'en réalité $$\begin{array}{lll} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} On intègre par parties, en intégrant le sinus et en dérivant $1/t$ pour augmenter l'exposant au dénominateur. &=&\frac{2(2at+b)(t/2+o(t^2))-(at^2+bt)(1-t^2/2+o(t^2))}{t^2+o(t^2)}\\ $$\frac{\sin^2 x}{x}=\frac{1}{2x}-\frac{\cos 2x}{2x},$$ &=&\frac{(2a\pi+b)(-1)^n -b}{n^2}. En déduire que $(f_n)$ converge vers $\gamma$. $$\left| \int_0^A f(t)\cos(xt)dt\right|\leq \veps.$$ De plus, Sommant cette inégalité pour $k$ allant de $n$ à $+\infty$, on trouve La fonction zeta de Riemann est la fonction définie sur ]1,+∞[ par : ... somme de fonctions décroissantes sur ]1 +∞[. \begin{eqnarray*} $$\int_{x_n-\eta}^{x_n+\eta}|f|=F(x_n+\eta)-F(x_n-\eta)\to 0$$ Or, il est clair que la série de terme général $v_n$ est convergente (comparaison à une série de Riemann). En déduire l'existence d'une suite $(x_n)$ tendant vers $+\infty$ telle que $\big(x_nf(x_n)\big)$ tend vers 0. Déterminer $\lim_{x\to 0^+}\int_{ax}^{bx}\frac{f(t)}tdt$ si on ne suppose plus que $f(0)=0$. }{(1+t)^n}.$$ Or, si $X$ tend vers $+\infty$, le membre de droite de l'inégalité tend vers $-\infty$. Si $n=2p+1$, alors $\sin(t)f(t)\leq 0$ sur $[(2p+1)\pi,(2p+1)\pi+\pi]$ et donc $u_{2p+1}\leq 0$. (pour $n\geq 2$) est convergente, et calculer sa somme. On en déduit, par procédé standard d'élimination : On suppose $\alpha=1$. $$\begin{array}{lllll} Puisque $\alpha<-1$, on sait que $e^{\alpha x}$ tend vers 0 en $+\infty$, d'où Par le théorème de prolongement d'une dérivée, $f$ est de classe $C^1$ en $0$. Puisque l'intégrale $\int_1^{+\infty}\frac1{t^x}$ converge si et seulement si $x>1$, et par comparaison Il tend lui aussi vers 0, ce qui prouve le résultat. On obtient, pour $X>1$, qui est une fonction négative. Soit on remarque que. Démontrer qu'il existe une constante $C\in\mathbb R$ telle que, pour tout $x\in ]0,1[$, connaissant la nature de la série de terme général u n puis en calculer la somme en cas de convergence. \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} Exercices de Jean-Louis Rouget. l'un en 0, l'autre en $+\infty$. $$\int_{0}^{+\infty}f=\sum_{n\geq 0}\int_{n}^{n+2/2^n}f=\sum_{n\geq 0}\frac{1}{2^n}=2.$$. \displaystyle \mathbf 1.\ \int_0^1 \ln tdt&&\displaystyle \mathbf 2.\ \int_0^{+\infty}e^{-t^2}dt\\ On en déduit la convergence de $\int_0^{+\infty}\frac{\ln t}{a^2+t^2}.$ Le changement Indication pourl’exercice2 N Il faut se souvenir de ce que vaut la somme des n premiers entiers, la somme des carrés des n premiers entiers et de la somme d’une suite géométrique. $$\int_x^{+\infty}\frac{e^{-t}}{t^2}dt=_{+\infty}o\left(\int_x^{+\infty}\frac{e^{-t}}{t}\right).$$ Démontrer que $f$ se prolonge par continuité en 1 et que $g$ se prolonge par continuité en $0$. $$0\leq Li(0)-S_n\leq \int_0^{+\infty}e^{-nx}dx=\frac 1n.$$. Quel est son signe? 1. En déduire qu'il existe une constante &=&\frac{\sin x}{\sqrt x}\left(1-\frac{\sin x}{\sqrt x}+O\left(\frac{\sin^2 x}{x}\right)\right)\\ En déduire que $H_n=\ln n+\gamma+\frac{1}{2n}+o\left(\frac1n\right)$. Sommant cette relation pour $k$ allant de $2$ à $n$, puis ajoutant 1, on obtient : Si $\int_a^b f(t)dt$ diverge, l'inégalité de gauche obtenue à la question précédente (qui ne fait appel qu'à des intégrales de $$\frac{\sin x}{\sqrt x+\sin x}\sim_{+\infty}\frac{\sin x}{\sqrt x},$$ On va montrer que la série de terme général $u_n$ vérifie le critère des séries alternées. b) Si fet gsont en escalier, montrer que f+get fgsont en escalier. Puisque $|f(A)\sin(Ax)|\leq |f(A)|$, il est clair que le premier terme du membre de droite tend vers 0 lorsque $x$ tend vers $+\infty$. La fonction $x\mapsto \frac{f(x)}{1+x^2}$ est alors continue sur $[0,+\infty[$, $\int_e^{+\infty}f$. Mais au voisinage de $0$, &=&\frac\pi4-\frac 12[\ln(1+x^2)]_0^1\\ Pour $X>0$, il vient Soit $f:[0,+\infty[\to\mathbb R$ une fonction continue et $s_0\in\mathbb R$ tels que $$\int_1^X \frac{g(t)}tdt=\frac{G(X)}{X}-\frac{G(1)}1+\int_1^X \frac{G(t)}{t^2}dt.$$ Le but de l'exercice est de calculer $\sum_{n\geq 1}\frac1{n^2}$ et de donner un développement asymptotique de et $\int_1^{+\infty}\frac{dt}{1-t}=-\infty$. &=&\int_0^{+\infty}\frac{\ln a}{a(1+u^2)}du+\int_0^{+\infty}\frac{\ln u}{a(1+u^2)}du. &=&2\int_0^2 \ln(x)dx\\ $$\int_1^n \ln(t)dt\leq \ln(n! Alors il est aisé de vérifier que $h$ est dérivable sur $]0,1[$ et que $h'(x)=0$ pour tout $x\in ]0,1[$ (rappelons que l'on a déjà calculé la dérivée de la fonction $Li$ précédemment). La fonction $t\mapsto\cos^2(1/t)$ est continue sur $]0,1]$. $$\int_{k}^{k+1}\frac{dt}{t^\alpha}\leq \frac{1}{k^{\alpha}}\leq \int_{k-1}^{k}\frac{dt}{t^\alpha}.$$ Méthode 1. Les questions sont très détaillées. F2School Mathématique Applications des nombres et polynômes de Bernoulli, Calcul des primitives, Calculs approchés d’intégrales, Caractérisation de Lebesgues, Caractérisation des fonctions Riemann-intégrables, changement de variable, Continuité, Continuité sous le signe R, cours integrale université, critère de riemann, Dérivabilité, Dérivabilité sous le signe R, exercices corrigés fonctions définies par … Il s’agit d’une série de Riemann convergente avec , donc la série de fonction de terme général [converge normalement sur [. $$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} Soit $f:[0,+\infty[\to\mathbb R$ une fonction de classe $\mathcal C^1$ telle que $f$ et $f'$ soient intégrables sur $[0,+\infty[$. De plus, revenant à la On a donc : $$\lim_{t\to+\infty} t^2\times \frac{te^{-\sqrt t}}{1+t^2}=\lim_{t\to+\infty}te^{-\sqrt t}=0$$ Exo préc. Démontrer d'abord que $f$ admet une limite en l'infini en l'écrivant comme primitive de $f'$. On ... Signalons une erreur dans la question 23 du corrigé : il convient de lire tanh au lieu de arctanh... Problème spécifique MPSI 2000 : Problème plutôt facile, surtout pour la filière MPSI. $$n!\int_2^x \frac{dt}{(\ln t)^{n+1}}\sim_{+\infty}\frac{n!x}{(\ln x)^{n+1}}$$ On va faire un développement asymptotique de la fonction au voisinage de $+\infty$. La convergence de $\int_0^1 f(t)dt$ signifie que $\int_x^1 f(t)dt$ admet une limite quand $x$ tend vers 0, et cette limite est justement égale à $\int_0^1 f(t)dt$. \end{eqnarray*} On suppose que $\int_0^{+\infty}f(t)dt$ converge, et soit $(x_n)$ et $(y_n)$ deux suites tendant vers $+\infty$. En $1$, en raisonnant comme à la première question, on trouve que $\frac{t^2\ln t}{t^2-1}$ tend vers $1/2$. Par comparaison à une série de Riemann, la série de terme général (vn ) converge. En conclusion, la seule valeur propre est 1, et les seuls vecteurs propres sont les suites constantes. \end{eqnarray*} Or, $u_1=f_1=1$. bibmath.net Competitive Analysis, Marketing Mix and Traffic - Alexa Log in $$\int_0^{(n+1)\pi}\frac{|\sin t|}{t}dt\to+\infty.$$ Soit $a$ un réel et $f$ une application continue de $[a,+\infty[$ dans $\mathbb R$, intégrable sur $[a,+\infty[$. Il peut y avoir éventuellement deux problèmes, \end{array}$$, Les intégrales impropres suivantes sont-elles convergentes? Précisément, on a $f$ ne tend donc pas vers 0 en $+\infty$. Mais Précisément, soit Démontrer que En particulier, cette quantité ne tend pas vers zéro, et donc l'intégrale est divergente. On déduit alors Par les théorèmes de comparaison, Remarquons pour commencer que, pour tout $x\in\mathbb R$, la fonction $$\frac{u_{k+1}}{u_k}\leq \frac{1}{25}.$$ où $C\in\mathbb R$. Justifier que, pour tout $n\geq 0$, $I_n$ et $J_n$ sont bien définis. Pour l'étude des certaines intégrales, du type $\int_1^{+\infty}\frac{\sin }{t}dt$, qui ne sont pas absolument convergentes, une intégration par parties permet de se ramener à une intégrale absolument convergente. $\int_1^X\frac{|\sin t|}{t}dt$ tend vers $+\infty$ lorsque $X$ tend vers $+\infty$. Vérifier alors que $$\frac{1}{k+1}\leq\int_{k}^{k+1}\frac{dt}{t}\leq\frac1{k}.$$. Que dire d'une fonction continue sur un segment? L'inégalité demandée est alors une conséquence de la question précédente avec $x=1/n$. Sa limite, quand n tend vers +∞, est lnp. De plus, pour tout $k\in\mathbb N$, on a Comme on a . Soit $f:[0,+\infty[\to[0,+\infty[$ une fonction continue décroissante, En raisonnant d'abord avec le terme de plus haut degré, puis celui juste après, etc..., on trouve : En effet, n n La série de terme général (un ) est donc divergente. Problème 1 : sommes de Riemann Partie A : convergence des sommes de Riemann 1. $$n!\int_2^x \frac{dt}{(\ln t)^{n+1}}=\frac{n!x}{(\ln x)^{n+1}}+(n+1)!\int_2^x \frac{dt}{(\ln t)^{n+2}}+O(1).$$ Il s’agit d’une série de Riemann divergente ( ) Donc la série ne converge pas normalement sur [ [. $$\begin{array}{lll} S_N&=\sum_{n=2}^{N}\frac{(-1)^n}{n^2-1}\\ En déduire que l'intégrale $\int_0^{+\infty}e^{-t\sin t}dt$ diverge. Utiliser un développement limité de $\sin$. Par somme, ... annales et aux corrigés de tous les exercices. EXERCICES SUR L’INTEGRALE DE RIEMANN 1. a) Si fest une fonction en escalier, montrez que |f| est aussi en escalier. Toujours parce que $F$ est bornée, on a Le but de l'exercice est de déterminer un équivalent du reste de certaines séries alternées. En effet, pour tout $k$, on a : d'où l'on tire que $$|\arctan(x+1)-\arctan(x)|\leq \frac{1}{1+x^2}\times(x+1-x)=\frac{1}{1+x^2}.$$
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